SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Hana Fahira (15) XI IPS 2

TURUNAN:
SOAL KONTEKSTUAL & PEMBAHASANNYA 

    Pada pembelajaran kali ini, kita akan mengerjakan dan membahas soal-soal cerita atau soal berkonteks mengenai penerapan turunan. Hal ini ditujukan agar kita lebih mengerti akan manfaat atau fungsi dari turunan dan dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari. Mari kita simak!

Nomor 1

Biaya untuk memproduksi $x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

Pembahasan

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan$$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.
$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

Nomor 2

Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

Pembahasan

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$
(Jawaban D)

Nomor 3

Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t² − 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik!
A. 15 m/detik
B. 16 m/detik
C. 17 m/detik
D. 18 m/detik
E. 19 m/detik

Pembahasan
Persamaan kecepatan benda diperoleh dengan menurunkan persamaan posisi benda.
y = 5t² − 4t + 8
ν = y ‘ = 10t − 4

Untuk t = 2 detik dengan demikian kecepatan benda adalah
ν = 10(2) − 4 = 20 − 4 = 16 m/detik

Nomor 4

Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x − x²) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah…
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
E. 160

Pembahasan
Keuntungan satu barang adalah (225x − x²), sehingga jika diproduksi x buah barang maka persamaan keuntungannya adalah keuntungan satu barang dikalikan dengan x
U (x) = x (225x − x²)
U (x) = 225 x² − x³

Nilai maksimum U (x) diperoleh saat turunannya sama dengan nol
U ‘ (x) = 0
450 x − 3x² = 0

Faktorkan untuk memperoleh x
3x(150 − x) = 0
x = 0, x = 150

Sehingga banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah.

Jadi berapa keuntungan maksimumnya? Masukkan nilai x = 150 ke fungsi U (x) untuk memperoleh besarnya keuntungan maksimum.

Nomor 5

Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$           

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$
(Jawaban C)

Nomor 6

Untuk memproduksi $x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan

Misalkan keuntungan ($U$) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga
$\begin{array}{cc}U\left(x\right)& =x(20-x)-(x^2+4x+10)\\ & =20x-x^2-x^2-4x+10\\ & =-2x^2+16x-10\end{array}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{U}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+16& =0\\ 4x& =16\\ x& =4\end{array}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi 4 unit pakaian, yaitu
$\begin{array}{cc}U\left(4\right)& =-2(4{)}^2+16(4)-10\\ & =-32+64-10=22\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

Nomor 7

Pak Eko ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang seluas $324{\text{m}}^2$ untuk ayam peliharaannya. Kandang tersebut akan dipagari dengan kawat duri seharga Rp12.000,00 per meter. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$

1. Jika lebar kandang $9$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum
2. Jika lebar kandang $22$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum 
3. Jika panjang kandang $36$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum
4. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp864.000,00
5. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp432.000,00

Pembahasan

Gunakan luas persegi panjang untuk menentukan hubungan panjang $\left(p\right)$ dan lebar $\left(l\right)$
$L=p\times l\Rightarrow l=\frac{324}{p}$
Pemasangan kawat duri merupakan permasalahan keliling, sehingga perlu dinyatakan keliling persegi panjang $\left(k\right)$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$ (atau boleh juga $l$). 
$\begin{array}{cc}k& =2p+2l\\ & =2p+2\left(\frac{324}{p}\right)\\ & =2p+\frac{648}{p}\end{array}$
$k$ akan maksimum saat $\frac{\text{d}k}{\text{d}p}=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}k}{\text{d}p}& =2-\frac{648}{p^2}\\ 0& =2-\frac{648}{p^2}\\ \frac{648}{p^2}& =2\\ p^2& =\frac{648}{2}=324\\ p& =\sqrt{324}=18\end{array}$
Untuk $p=18\text{meter}$, diperoleh
$l=\frac{324}{18}=18$.
Ini artinya, ketika panjang dan kandang $18$ meter, maka keliling akan bernilai minimum, yaitu
$k_{\text{min}}=2(p+l)=2(18+18)=72\text{m}$
Biaya pemasangan kawat minimum adalah $72\times \text{Rp}12.000,00=\text{Rp}864.000,00$. 
Berarti opsi jawaban yang diberikan, jawaban yang paling tepat adalah D.

Nomor 8

Total penjualan suatu barang $\left(k\right)$ merupakan perkalian antara harga $\left(p\right)$ dan permintaan $\left(x\right)$ yang dinyatakan dengan $k=px$. Untuk $p=90-3x$ dalam jutaan rupiah dan $1\le x\le 30$, maka total penjualan maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.350.000.000,00
B. Rp675.000.000,00
C. Rp600.000.000,00
D. Rp450.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

Pembahasan

Diberikan $k=px$. Untuk $p=90-3x$, diperoleh
$k=(90-3x)x=-3x^2+90x$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\frac{\text{d}k}{\text{d}x}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}k}{\text{d}x}& =-6x+90\\ 0& =-6x+90\\ 6x& =90\\ x& =15\end{array}$
Nilai $x=15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k=-3x^2+90x$, sehingga diperoleh
$k_{\text{max}}=-3(15{)}^2+90(15)=675$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00
(Jawaban B)

Nomor 9

Perhatikan gambar berikut.

Layar bioskop memiliki tinggi $3$ meter dan terletak pada dinding $1$ meter di atas lantai. Jarak seseorang dari dinding agar besar sudut $\theta$ sebesar mungkin adalah $\cdots$ meter.
A. $1$                       C. $2$                    E. $3$
B. $\sqrt{3}$                     D. $2\sqrt{3}$

Pembahasan

Perhatikan kembali sketsa gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kita peroleh $\tan \alpha =\frac{4}{x}$ dan $\tan \beta =\frac{1}{x}$, sehingga
$$\begin{array}{cc}\tan \theta & =\tan (\alpha -\beta )\\ & =\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\\ & =\frac{\frac{4}{x}-\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x}\cdot \frac{1}{x}}\times \frac{x^2}{x^2}\\ & =\frac{3x}{x^2+4}\end{array}$$Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran I. Agar $\theta$ bernilai maksimum, $\tan \theta$ harus dibuat sebesar mungkin (pada kuadran I, semakin besar sudutnya, nilai tangen sudutnya juga semakin besar).
Nilai ekstrem fungsi tangen $f\left(\theta \right)=\tan \theta$ tercapai saat turunan pertamanya terhadap variabel $x$ bernilai $0$.
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, misalkan $u=3x$ dan $v=x^2+4$, sehingga $u^{\prime }=3$ dan $v^{\prime }=2x$. Kita peroleh
$$\begin{array}{cc}f\left(\theta \right)& =\tan \theta =\frac{3x}{x^2+4}\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(\theta \right)& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ 0& =\frac{3(x^2+4)-3x\left(2x\right)}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =\frac{3x^2+12-6x^2}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =\frac{-3x^2+12}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =-3x^2+12\\ 3x^2& =12\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$$Karena $x$ mewakili besaran jarak (panjang), maka nilainya tidak mungki negatif. Jadi, diperoleh $x=2$. Ini artinya, jarak orang terhadap dinding itu haruslah $2\text{meter}$
(Jawaban C)

Nomor 10

Icha akan meniup bola karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm2/detik . jika laju pertambahan jari-jari bola setelah ditiup adalah 20cm/detik. jari-jari bola setelah ditiup adalah..

Pembahasan
Penyelesaian:
dvdt=40$\frac{dv}{dt}=40$
drdt=20$\frac{dr}{dt}=20$
volume bola adalah
vdvdrdvdr=43π×r3=43×3π×r2=4×π×r2$\begin{array}{rl}v& =\frac{4}{3}\pi \times r^3\\ \frac{dv}{dr}& =\frac{4}{3}\times 3\pi \times r^2\\ \frac{dv}{dr}& =4\times \pi \times r^2\end{array}$
kemudian perhatikan bahwa
dvdtdvdr×drdt4×π×r2×20π×r2r2r=40=40=40=12=12π=12π−−√

Nomor 11

Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya $30$ cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.

Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\cdots {\text{cm}}^3$.
A. $2.000$                           D. $5.000$
B. $3.000$                           E. $6.000$
C. $4.000$

Pembahasan

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0<x<15$. 
Nyatakan volume kotak/balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}V\left(x\right)& =plt\\ & =(30-2x)(30-2x)x\\ & =4x^3-120x^2+900x\end{array}$
Volume kotak akan maksimum apabila $V^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 12x^2-240x+900& =0\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan 12}\\ x^2-20x+75& =0\\ (x-15)(x-5)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=15$ (tidak memenuhi) atau $x=5$. 
Untuk $x=5$, diperoleh
$\begin{array}{cc}V\left(5\right)& =900\left(5\right)-120(5{)}^2+4(5{)}^3\\ & =4.500-3.000+500=2.000\end{array}$
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $2.000{\text{cm}}^3$
(Jawaban A)

Nomor 12

Dennis membeli minyak goreng dalam kemasan plastik di suatu minimarket. Ia ingin memasukkan minyak goreng tersebut pada sebuah tabung tanpa tutup yang permukaannya terbuat dari lempengan seng tipis. Ternyata tabung tanpa tutup dengan luas permukaan $k\pi {\text{cm}}^2$ adalah tabung tanpa tutup dengan volume terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak $8\pi {\text{cm}}^3$. Nilai $k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                    C. $12$                 E. $18$
B. $8$                    D. $16$          

Pembahasan

Diketahui luas permukaan tabung tanpa tutup adalah $k\pi {\text{cm}}^2$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cccc}{L}_{\text{tab}\text{ung}}& =k\pi & & \\ \pi r^2+2\pi rt& =k\pi & & \\ \pi (r^2+2rt)& =k\pi & & \\ r^2+2rt& =k& & (\cdots 1)\end{array}$
Diketahui volume tabung tersebut $8\pi {\text{cm}}^3$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}_{\text{tab}\text{ung}}& =8\pi \\ \pi r^{2}t& =8\pi \\ r^{2}t& =8\\ t& =\frac{8}{r^2}(\cdots 2)\end{array}$
Substitusikan $\left(2\right)$ ke $\left(1\right)$, diperoleh
$\begin{array}{cc}{r}^2+2r\left(\frac{8}{r^2}\right)& =k\\ r^2+\frac{8}{r}& =k\\ r^3-kr+8& =0\end{array}$
Sekarang, misalkan $f\left(r\right)=r^3-kr+8$. Volume tabung akan minimum saat $f^{\prime }\left(r\right)=0$, yaitu
$3r^2–k=0\iff k=3r^2$
Ini artinya, volume tabung akan minimum bila $k=3r^2$. 
Substitusikan nilai $k$ ini ke $\left(1\right)$. 
$\begin{array}{cc}{r}^2+2rt& =k\\ r^2+2rt& =3r^2\\ 2r^2-2rt& =0\\ 2r(r-t)& =0\end{array}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r=t$. 
Terakhir, substitusikan ke $\left(2\right)$. 
$\begin{array}{cc}t& =\frac{8}{r^2}\\ t{r}^2& =8\\ \left(r\right)r^2& =8\\ r^3& =8\\ r& =\sqrt[3]{38}=2\end{array}$
Dengan demikian, $k=3r^2=3(2{)}^2=12$
Jadi, nilai $k$ adalah $12$.
(Jawaban C)

Nomor 13

Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari 

dengan biaya proyek perhari

ratus ribu rupiah.

Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu….
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari

Pembahasan

Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x

Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,

    Sekian materi yang dapat saya sampaikan. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Daftar Pustaka:

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/

https://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/124-aplikasi-turunan

https://www.mathtrick1994.com/2019/11/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan.html