Monday, March 29, 2021

INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

 Hana Fahira (15) XI IPS 2


INTEGRAL TENTU & SIFAT-SIFATNYA
+ CONTOH SOAL


APA ITU INTEGRAL TENTU?

Integral suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut. 
• invers (operasi kebalikan) dari turunan fungsi
• Limit dari jumlah (luas daerah) 

    Rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), x=a, x=b, dan sumbu-x adalah rumus yang mendasari integral tentu. Memang salah satu penggunaan integral tentu salah satunya adalah untuk mencari luas daerah di bawah kurva. Definisi integral tentu perlu dipahami karena menjadi dasar bagi integral tentu. Untuk selanjutnya, penyelesaian integral tentu bisa menggunakan teorema dasar kalkulus. Kita tidak perlu repot-repot menyelesaikan suatu integral tentu menggunakan definisi integral tentu. 

Definisi Integral Tentu


Teorama Dasar Kalkulus

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU

Intergral tentu memiliki sejumlah sifat-sifat penting yang dapat digunakan dalam pengoperasian matematika yaitu:

  • \int^a_a f(x)dx=0
  • \int^b_a f(x) dx = - \int^a_b f(x) dx
  • \int^b_a k \cdot f(x)dx=k \cdot \int^b_af(x)dx     …     dengan k adalah konstanta/ bilangan
  • \int^b_af(x)+g(x)dx = \int ^b_a f(x)dx +\int^b_a g(x)dx
  • \int^b_af(x)-g(x)dx = \int^b_af(x)dx - \int^b_ag(x)dx
  • \int^c_af(x)dx = \int^b_af(x)dx+\int^c_bf(x)dx     …     dengan a < b < c

Pengintegralan suatu fungsi tidak selamanya dapat dikerjakan secara langsung dengan rumus dasar:

\int ax^ndx=\frac{a}{(n+1)}x^{(n+1)}+C

Bisa atau tidak ditentukan oleh bentuk fungsi yang diintegralkan. Teknik pengintegralan terdiri dari dua jenis yaitu teknik substitusi dan teknik parsial.

CONTOH SOAL

Soal Nomor 1
Nilai dari 12(x23) dx sama dengan 
A. 12                  C. 0                   E. 12
B. 6                    D. 6

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
12(x23) dx=[13x33x]12=(13(2)33(2))(13(1)33(1))=(836)(13+3)=83+1363=939=6Jadi, nilai dari 12(x23) dx=6
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari 11(x3+2x1)2 dx sama dengan 
A. 332105                   D. 372105
B. 342105                   E. 392105
C. 352105

Pembahasan

Jabarkan terlebih dahulu bentuk (x3+2x1)2 menggunakan (a+b)2=a2+2ab+b2, yang dalam hal ini a=x3 dan b=2x1.
(x3+2x1)2=(x3)2+2(x3)(2x1)+(2x1)2=x64x4+2x3+4x24x+1
Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
11(x3+2x1)2 dx=11(x64x4+2x3+4x24x+1) dx=[17x745x5+12x2+43x32x2+x]11=(17(1)745(1)5+12(1)2+43(1)32(1)2+(1))(17(1)745(1)5+12(1)2+43(1)32(1)2+(1))=(1745+12+432+1)(17+45+124321)=2785+0+83+0+2=30105168105+280105+210105=352105Jadi, nilai dari 11(x3+2x1)2 dx=352105
(Jawaban C)


Soal Nomor 3
Nilai dari 14(5x26x+2x2) dx sama dengan 
A. 7512                      D. 7812
B. 7612                      E. 80
C. 7814

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
14(5x26x+2x2) dx=14(5x26x1/2+2x2) dx=[53x363/2x3/2+21x1]14=[53x34x3/22x]14=(53(4)34(4)3/224)(53(1)34(1)3/221)=(32033212)(5342)=31532612=1052612=7812Jadi, nilai dari 14(5x26x+2x2) dx=7812
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika 14f(x) dx=6, maka nilai 14f(5x) dx=
A. 6                   C. 0                    E. 6
B. 3                   D. 1

Pembahasan

Diketahui 14f(x) dx=6.
Misalkan u=5x, sehingga du=(1) dx atau ekuivalen dengan dx=du.
Batas atas integral dengan variabel u menjadi
u=5x=54=1.
Batas bawahnya menjadi
u=5x=51=4.
Dengan demikian,
14f(5x) dx=41f(u) (du)Balikkan batas integralnya=14f(u) (du)=14f(u) du=6
Ingat bahwa:
14f(x) dx=14f(u) du
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari 14f(x) dx=6
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai a yang memenuhi 1a(2x+3) dx=6 adalah 
A. 5                   C. 3                  E. 10
B. 2                       D. 5

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
1a(2x+3) dx=6[x2+3x]1a=6(a2+3a)((1)2+3(1))=6a2+3a10=0(a+5)(a2)=0
Diperoleh nilai a=5 atau a=2.
Karena a merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu 1, maka kita ambil a=2.
(Jawaban B)



Soal Nomor 6
Hasil dari 9162+x2x dx adalah 
A. 83                     C. 143                  E. 433
B. 113                   D. 173

Pembahasan

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
2+x2x=22x+x2x=x1/2+12x1/2
Dengan demikian, kita peroleh
9162+x2x dx=916(x1/2+12x1/2) dx=[11+(1/2)x1/2+1+1211+1/2x1/2+1]916=[2x1/2+1223x3/2]916=[2x1/2+13x3/2]916=(2(16)1/2+13(16)3/2)(2(9)1/2+13(9)3/2)=2(4)+13(64)2(3)13(27)=8+64369=7+643=433Jadi, nilai dari 9162+x2x dx=433
(Jawaban E)

[collapse]


Soal Nomor 7
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi kontinu, dan f(x)0, untuk semua bilangan real x, manakah dari pernyataan berikut ini yang benar?
I. abf(x)g(x) dx=(abf(x) dx)(abg(x) dx)II. ab(f(x)+g(x))=abf(x) dx+abg(x) dxIII. abf(x) dx=abf(x) dxA. I saja
B. II saja
C. III saja
D. II dan III
E. I, II, dan III

Pembahasan

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
abf(x)g(x) dx(abf(x) dx)(abg(x) dx)Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
abf(x) dxabf(x) dx
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika f(x) dan g(x) dapat diintegralkan dalam selang axb dan g(a)0 maka 
(1) abf(x)g(a) dx=g(a)abf(x) dx
(2) ab[f(a)+g(x)] dx
(3) abf(x) dxg(a)=abf(x)g(a) dx
(4) ab[f(x)g(x)] dx
Pernyataan yang benar adalah 
A. (1),(2), dan (3)
B. (1) dan (3)
C. (2) dan (4)
D. (4) saja
E. (1),(2),(3), dan (4)

Pembahasan

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, g(a) yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap f(a) sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, g(a) yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika f(x)=ax+b01f(x) dx=1 dan 12f(x) dx=5, maka nilai a+b=
A. 5                      C. 3                    E. 4
B. 4                      D. 3

Pembahasan

Karena 01f(x) dx=1, maka diperoleh
01f(x) dx=101(ax+b) dx=1[12ax2+bx]01=112a(1)2+b(1)0=112a+b=1(1)Karena 12f(x) dx=5, maka diperoleh
12f(x) dx=512(ax+b) dx=5[12ax2+bx]12=512a(2)2+b(2)12a(1)2b(1)=532a+b=5(2)Dari persamaan (1) dan (2) (membentuk SPLDV), kita peroleh nilai a=4 dan b=1. Jadi, nilai a+b=4+(1)=3
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika nilai 13f(x) dx=3 dan 133g(x) dx=6, maka nilai 13(2f(x)g(x)) dx=
A. 8                     C. 4                    E. 8
B. 6                     D. 6

Pembahasan

Diketahui:
13f(x) dx=3133g(x) dx=613g(x) dx=2
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
13(2f(x)g(x)) dx=213f(x) dx13g(x) dx=2(3)(2)=6+2=8
Jadi, nilai dari 13(2f(x)g(x)) dx=8
(Jawaban E)


Daftar Pustaka:

https://maths.id/integral-tak-tentu-dan-integral-tentu

https://www.studiobelajar.com/integral-tentu-penggunaan-integral/

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-integral-tentu/



No comments:

Post a Comment