INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

 Hana Fahira (15) XI IPS 2

INTEGRAL TENTU & SIFAT-SIFATNYA
+ CONTOH SOAL

APA ITU INTEGRAL TENTU?

Integral suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut. 
• invers (operasi kebalikan) dari turunan fungsi
• Limit dari jumlah (luas daerah) 

    Rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), x=a, x=b, dan sumbu-x adalah rumus yang mendasari integral tentu. Memang salah satu penggunaan integral tentu salah satunya adalah untuk mencari luas daerah di bawah kurva. Definisi integral tentu perlu dipahami karena menjadi dasar bagi integral tentu. Untuk selanjutnya, penyelesaian integral tentu bisa menggunakan teorema dasar kalkulus. Kita tidak perlu repot-repot menyelesaikan suatu integral tentu menggunakan definisi integral tentu. 

Definisi Integral Tentu

Teorama Dasar Kalkulus

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU

Intergral tentu memiliki sejumlah sifat-sifat penting yang dapat digunakan dalam pengoperasian matematika yaitu:

• 
• 
•      …     dengan k adalah konstanta/ bilangan
• 
• 
•      …     dengan a < b < c

Pengintegralan suatu fungsi tidak selamanya dapat dikerjakan secara langsung dengan rumus dasar:

Bisa atau tidak ditentukan oleh bentuk fungsi yang diintegralkan. Teknik pengintegralan terdiri dari dua jenis yaitu teknik substitusi dan teknik parsial.

CONTOH SOAL

Soal Nomor 1
Nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-6$                    D. $6$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x& ={[\frac{1}{3}{x}^3-3x]}_{-1}^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3-3\left(2\right))-\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3-3(-1))\\ & =(\frac{8}{3}-6)-(-\frac{1}{3}+3)\\ & =\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-6-3\\ & =\frac{9}{3}-9=-6\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x=-6$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{332}{105}$                   D. $\frac{372}{105}$
B. $\frac{342}{105}$                   E. $\frac{392}{105}$
C. $\frac{352}{105}$

Pembahasan

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1{)}^2$ menggunakan $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, yang dalam hal ini $a=-x^3$ dan $b=2x-1$.
$\begin{array}{cc}& (-x^3+2x-1{)}^2\\ & =(-x^3{)}^2+2(-x^3\left)\right(2x-1)+(2x-1{)}^2\\ & =x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1\end{array}$
Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x& ={\int }_{-1}^1(x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{7}{x}^7-\frac{4}{5}{x}^5+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x]}_{-1}^1\\ & =\left(\frac{1}{7}\right(1{)}^7-\frac{4}{5}(1{)}^5+\frac{1}{2}(1{)}^2+\frac{4}{3}(1{)}^3-2(1{)}^2+\left(1\right))-\left(\frac{1}{7}\right(-1{)}^7-\frac{4}{5}(-1{)}^5+\frac{1}{2}(-1{)}^2+\frac{4}{3}(-1{)}^3-2(-1{)}^2+(-1))\\ & =(\frac{1}{7}-\frac{4}{5}+\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-2+1)-(-\frac{1}{7}+\frac{4}{5}+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-2-1)\\ & =\frac{2}{7}-\frac{8}{5}+0+\frac{8}{3}+0+2\\ & =\frac{30}{105}-\frac{168}{105}+\frac{280}{105}+\frac{210}{105}\\ & =\frac{352}{105}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x=\frac{352}{105}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdots$
A. $75\frac{1}{2}$                      D. $78\frac{1}{2}$
B. $76\frac{1}{2}$                      E. $80$
C. $78\frac{1}{4}$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x& ={\int }_1^4(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2})\text{d}x\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-\frac{6}{3/2}{x}^{3/2}+\frac{2}{-1}{x}^{-1}]}_1^4\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-4x^{3/2}-\frac{2}{x}]}_1^4\\ & =\left(\frac{5}{3}\right(4{)}^3-4(4{)}^{3/2}-\frac{2}{4})-\left(\frac{5}{3}\right(1{)}^3-4(1{)}^{3/2}-\frac{2}{1})\\ & =(\frac{320}{3}-32-\frac{1}{2})-(\frac{5}{3}-4-2)\\ & =\frac{315}{3}-26-\frac{1}{2}\\ & =105-26-\frac{1}{2}\\ & =78\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x=78\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$, maka nilai ${\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $6$                   C. $0$                    E. $-6$
B. $3$                   D. $-1$

Pembahasan

Diketahui ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$.
Misalkan $u=5-x$, sehingga $\text{d}u=(-1)\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x=-\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u=5-x=5-4=1$.
Batas bawahnya menjadi
$u=5-x=5-1=4$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x& ={\int }_4^{1}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ \text{Balikkan batas}& \text{integralnya}\\ & =-{\int }_1^{4}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ & ={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u=6\end{array}$
Ingat bahwa:
${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $a$ yang memenuhi ${\int }_1^a(2x+3)\text{d}x=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $3$                  E. $10$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_1^a(2x+3)\text{d}x& =6\\ {[x^2+3x]}_1^a& =6\\ (a^2+3a)-\left(\right(1{)}^2+3\left(1\right))& =6\\ a^2+3a-10& =0\\ (a+5)(a-2)& =0\end{array}$
Diperoleh nilai $a=-5$ atau $a=2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a=2$.
(Jawaban B)

Soal Nomor 6
Hasil dari ${\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{8}{3}$                     C. $\frac{14}{3}$                  E. $\frac{43}{3}$
B. $\frac{11}{3}$                   D. $\frac{17}{3}$

Pembahasan

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
$\begin{array}{cc}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}& =\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{x}{2\sqrt{x}}\\ & =x^{-1/2}+\frac{1}{2}{x}^{1/2}\end{array}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x& ={\int }_9^{16}(x^{-1/2}+\frac{1}{2}{x}^{1/2})\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{1+(-1/2)}{x}^{-1/2+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+1/2}{x}^{1/2+1}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+\frac{1}{3}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & =\left(2\right(16{)}^{1/2}+\frac{1}{3}\left(16{)}^{3/2}\right)-\left(2\right(9{)}^{1/2}+\frac{1}{3}\left(9{)}^{3/2}\right)\\ & =2\left(4\right)+\frac{1}{3}\left(64\right)-2\left(3\right)-\frac{1}{3}\left(27\right)\\ & =8+\frac{64}{3}-6-9\\ & =-7+\frac{64}{3}=\frac{43}{3}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x=\frac{43}{3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi kontinu, dan $f\left(x\right)\ge 0$, untuk semua bilangan real $x$, manakah dari pernyataan berikut ini yang benar?
$$\begin{array}{cc}& \text{I.}{\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x=\left({\int }_a^{b}f\right(x\left)\text{d}x\right)\left({\int }_a^{b}g\right(x\left)\text{d}x\right)\\ & \text{II.}{\int }_a^b\left(f\right(x)+g(x\left)\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x\\ & \text{III.}{\int }_a^b\sqrt{f\left(x\right)}\text{d}x=\sqrt{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\end{array}$$A. I saja
B. II saja
C. III saja
D. II dan III
E. I, II, dan III

Pembahasan

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
$${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x\ne \left({\int }_a^{b}f\right(x\left)\text{d}x\right)\left({\int }_a^{b}g\right(x\left)\text{d}x\right)$$Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
${\int }_a^b\sqrt{f\left(x\right)}\text{d}x\ne \sqrt{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}$
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ dapat diintegralkan dalam selang $a\le x\le b$ dan $g\left(a\right)\ne 0$ maka $\cdots \cdot$
(1) ${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(a\right)\text{d}x=g\left(a\right){\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x$
(2) ${\int }_a^b\left[f\right(a)+g(x\left)\right]\text{d}x$
(3) $\frac{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}{g\left(a\right)}={\int }_a^b\frac{f\left(x\right)}{g\left(a\right)}\text{d}x$
(4) ${\int }_a^b\left[f\right(x)-g(x\left)\right]\text{d}x$
Pernyataan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(1\right),\left(2\right)$, dan $\left(3\right)$
B. $\left(1\right)$ dan $\left(3\right)$
C. $\left(2\right)$ dan $\left(4\right)$
D. $\left(4\right)$ saja
E. $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$, dan $\left(4\right)$

Pembahasan

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g\left(a\right)$ yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap $f\left(a\right)$ sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g\left(a\right)$ yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f\left(x\right)=ax+b$, ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=1$ dan ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=5$, maka nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $3$                    E. $-4$
B. $4$                      D. $-3$

Pembahasan

Karena ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=1$, maka diperoleh
$$\begin{array}{cccc}{\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x& =1& & \\ {\int }_0^1(ax+b)\text{d}x& =1& & \\ {[\frac{1}{2}a{x}^2+bx]}_0^1& =1& & \\ \frac{1}{2}a(1{)}^2+b(1)-0& =1& & \\ \frac{1}{2}a+b& =1& & (\cdots 1)\end{array}$$Karena ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=5$, maka diperoleh
$$\begin{array}{cccc}{\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =5& & \\ {\int }_1^2(ax+b)\text{d}x& =5& & \\ {[\frac{1}{2}a{x}^2+bx]}_1^2& =5& & \\ \frac{1}{2}a(2{)}^2+b(2)-\frac{1}{2}a(1{)}^2-b\left(1\right)& =5& & \\ \frac{3}{2}a+b& =5& & (\cdots 2)\end{array}$$Dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ (membentuk SPLDV), kita peroleh nilai $a=4$ dan $b=-1$. Jadi, nilai $a+b=4+(-1)=3$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika nilai ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x=3$ dan ${\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x=-6$, maka nilai ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                     C. $4$                    E. $8$
B. $-6$                     D. $6$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x& =-6\\ \Rightarrow {\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x& =-2\end{array}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}& {\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x\\ & =2{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x-{\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x\\ & =2\left(3\right)-(-2)=6+2=8\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=8$
(Jawaban E)

Daftar Pustaka:

https://maths.id/integral-tak-tentu-dan-integral-tentu

https://www.studiobelajar.com/integral-tentu-penggunaan-integral/

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-integral-tentu/