MATEMATIKA: PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN & UJI TURUNAN KEDUA

Hana Fahira (15) XI IPS 2

PENERAPAN TURUNAN:
KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN & UJI TURUNAN KEDUA

Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari penerapan turunan yaiitu dalam kemonotonan, interval fungsi, kecekungan dan uji turunan kedua.

Definisi 1

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I.

Fungsi f dikatakan naik (increasing) pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 di I berlaku: jika x1 < x2, maka f(x1) < f(x2).
fungsi f dikatakan turun (decreasing) pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 di I berlaku: jika x1 < x2, maka f(x1) > f(x2).
fungsi f dikatakan monoton ketat (strictly monotonic) pada I jika f naik saja atau turun saja pada I.

Teorema 1 (Teorema kemonotonan)

Misalkan fungsi f kontinu pada interval I dan dapat diturunkan di setiap titik dalam dari I.

Jika f ' (x) > 0 untuk setiap titik dalam x di I, maka f naik pada I.
Jika f ' (x) < 0 untuk setiap titik dalam x di I, maka f turun pada I.

Contoh
Tentukanlah interval yang membuat fungsi f(x) = x 3 − 12x + 1 naik atau turun!

Turunan fungsi f adalah f 0 (x) = 3 x 2 − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Fungsi f naik jika f ' (x) > 0, yaitu jika x berada di (−∞, −2) ∪ (2, ∞). Lebih lanjut, fungsi f turun jika f ' (x) < 0, yaitu jika x berada di (−2, 2).

Kurva biru: grafik fungsi f.

Kurva merah: grafik fungsi f ' .

Definisi 2

Misalkan fungsi f dapat diturunkan pada interval buka I.

Fungsi f dikatakan cekung ke atas (concave up) pada I, jika fungsi f ' naik pada I.

Fungsi f dikatakan cekung ke bawah (concave down) pada I, jika fungsi f ' turun pada I.

Teorema 2 (Teorema kecekungan (concavity theorem))

Misalkan fungsi f dapat diturunkan pada interval buka I.

1 Jika f ''(x) > 0 untuk setiap x di I, maka f cekung ke atas pada I.

2 Jika f ''(x) < 0 untuk setiap x di I, maka f cekung ke bawah pada I.

Contoh

Tentukanlah interval yang membuat fungsi f(x) = x 3 − 12x + 1 cekung ke atas atau cekung ke bawah!

Turunan fungsi f adalah f ' (x) = 3 x 2 − 12. Turunan fungsi f ' adalah f ''(x) = 6 x. Fungsi f cekung ke atas jika f ''(x) > 0, yaitu: jika x berada di interval (0, ∞). Lebih lanjut, fungsi f cekung ke bawah jika f '' (x) < 0, yaitu jika x berada di interval (−∞, 0).

Kurva biru: grafik fungsi f.

Kurva merah: grafik fungsi f ' .

Garis hijau: grafik fungsi f '' .

Misalkan fungsi f kontinu pada c.

Titik (c, f(c)) disebut titik belok (inflection point) dari grafik fungsi f jika f cekung ke atas pada satu sisi dari x = c dan f cekung ke bawah pada sisi lainnya dari x = c.

Calon (candidate) untuk titik belok dicari dengan f ''(c) = 0 atau f '' (c) tidak ada.

Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.

Teorema Uji Turunan Kedua

Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’(c) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c.

Jika f ”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
Jika f ”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).

Jika f ”(c) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, kita harus menggunakan Uji Turunan Pertama.

Pembuktian Jika f ’(c) = 0 dan f ”(c) > 0, maka ada selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga

Bukti Uji Turunan Kedua

untuk semua x ≠ c dalam I. Jika x < c, maka f ’(x) < 0. Demikian juga, jika x > c, maka x – c > 0 dan f ’(x) > 0. Jadi, f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c, dan berdasarkan Uji Turunan Pertama, f(c) merupakan minimum lokal f. Pembuktian kasus kedua serupa dengan pembuktian kasus pertama tersebut.

Contoh: Menggunakan Uji Turunan Kedua

Tentukan ekstrim lokal

Contoh 4 Soal

Pembahasan Pertama kita tentukan turunan pertama fungsi tersebut.

Contoh 4 Turunan Pertama

Berdasarkan turunan ini, kita dapat melihat bahwa hanya x = –1, 0, dan 1 yang menjadi nilai kritis f. Dengan menemukan turunan keduanya

Contoh 4 Turunan Kedua

kita dapat menerapkan Uji Turunan Kedua seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.

Titik	(–1, –2)	(0, 0)	(1, 2)
Tanda f ”(x)	f ”( –1) > 0	f ”(0) = 0	f ”(1) < 0
Kesimpulan	Minimum lokal	Uji gagal	Maksimum lokal

Karena Uji Turunan Kedua gagal pada (0, 0), kita dapat menggunakan Uji Turunan Pertama dan melihat bahwa f naik dari kiri ke kanan x = 0. Sehingga, (0, 0) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal. Grafik f tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.

Contoh 4