PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA & GARIS NORMAL + CONTOH SOAL CERITA

  Hana Fahira (15) XI IPS 2

    Untuk pembahasan materi kali ini, yaitu Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal. Saya mengambil materi dari buku PKS Matematika Wajib Kelas XI. Mari simak pembahasan berikut. Jangan lupa untuk mengingat rumusnya yaa.

    Sebelum membahas persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva, mari pahami dulu apa itu gradien garis kurva.

                                            

    Dari gambar diatas, dapat dirumuskan gradien atau kemiringan garis secan, yaitu:

 

   Sebelumnya kamu sudah paham mengenai materi turunan belum? kalau belum, pahami materi dari blog saya sebelumnya, klik: Turunan

    Nah, sekarang kita akan membahas persamaan garis singgung. Pada dasarnya, garis singgung merupakan garis yang menyinggung suatu objek geometri (kurva, lingkaran, dan lain sebagainya) di suatu titik pada objek tersebut, atau dengan kata lain, garis singgung memiliki tepat satu titik persekutuan dengan objek yang disinggung. 

    Selanjutnya ada garis normal.

    

Untuk lebih memahami materi ini, mari kita latihan dengan soal!

Contoh Soal 1
Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^2-4x+5$ menyinggung garis $g$ di $x=-1$. Gradien garis $g$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                    C. $-2$                   E. $6$
B. $-6$                    D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^2-4x+5$.
Turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=2x-4$.
Gradien garis singgung $g$ diperoleh saat $x=-1$, yaitu
$m=f^{\prime }(-1)=2(-1)-4=-6$
Jadi, gradien garis $g$ adalah $-6$
(Jawaban B) 

Contoh Soal 2

Jika garis $l$ menyinggung kurva dengan persamaan $y=x^3-5x^2+7$ di titik $(1,3)$, maka persamaan garis $l$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10x+y-7=0$
B. $7x+y-10=0$
C. $7x+y-2=0$
D. $5x+y-7=0$
E. $x-y-5=0$

Pembahasan

Diketahui $y=x^3-5x^2+7$.
Turunan pertama dari $y$ adalah $y^{\prime }=3x^2-10x$.
Karena titik singgungnya di $(1,3)$, maka gradien garis singgung $l$ diperoleh saat $x=1$, yaitu
$m=y_{x=1}^{\prime }=3(1{)}^2-10(1)=-7$
Persamaan garis yang bergradien $m=-7$ dan melalui titik $(x_1,y_1)=(1,3)$ adalah
$\begin{array}{cc}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y-3& =-7(x-1)\\ y-3& -7x+7\\ 7x+y-10& =0\end{array}$
Jadi, persamaan garis $l$ adalah $7x+y-10=0$
(Jawaban B)

Contoh Soal 3

Grafik fungsi $g\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-1$ melalui titik $A(3,8)$. Persamaan garis singgung grafik fungsi $g$ di titik $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=3x-28$
B. $y=3x+38$
C. $y=11x-28$
D. $y=11x-38$
E. $y=11x+38$

Pembahasan

Diketahui $g\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-1$.
Titik singgung di $(3,8)$.
Substitusi $x=3$ pada $f^{\prime }\left(x\right)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung.
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =3x^2-6x+3\\ m=f^{\prime }\left(3\right)& =3(3{)}^2-6(3)+3\\ m& =27-18+3=12\end{array}$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1,y_1)=(3,8)$ dan bergradien $m=12$ adalah
$\begin{array}{cc}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y-8& =12(x-3)\\ y-8& =12x-36\\ y& =12x-28\end{array}$
Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi $g$ di titik $A$ adalah $y=12x-28$
(Jawaban C)

Contoh Soal 4

Persamaan garis normal kurva $f\left(x\right)=3x^3-3x+2$ di $x=1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x-6y=13$
B. $x+6y=13$
C. $y-6x=13$
D. $6y-x=13$
E. $6x+y=13$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=3x^3-3x+2$.
Substitusi $x=1$ untuk mencari ordinat titik singgungnya.
$\begin{array}{cc}f\left(1\right)& =3(1{)}^3-3(1)+2\\ & =3-3+2=2\end{array}$
Jadi, titik singgungnya di $(1,2)$.
Nilai turunan $f\left(x\right)$ di $x=1$ adalah gradien garis singgungnya.
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =3\left(3\right)x^2-3\\ & =9x^2-3\\ m^{\prime }=f^{\prime }\left(1\right)& =9(1{)}^2-3=6\end{array}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung sehingga gradiennya adalah $m=-\frac{1}{m^{\prime }}=-\frac{1}{6}$.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1,y_1)=(1,2)$ dan bergradien $m=-\frac{1}{6}$ adalah
$\begin{array}{cc}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y-2& =-\frac{1}{6}(x-1)\\ 6(y-2)& =-(x-1)\\ 6y-12& =-x+1\\ x+6y& =13\end{array}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $x+6y=13$
(Jawaban B)

Contoh Soal 5

Persamaan garis normal kurva $f\left(x\right)=-2x^3+6x^2$ di titik $P$ adalah $6y+x=25$. Koordinat titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-1,2)$                     D. $(1,4)$
B. $(-1,4)$                     E. $(2,1)$
C. $(1,2)$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=-2x^3+6x^2$.
Gradien garis normal $6y+x=25$ adalah $m^{\prime }=-\frac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y}=-\frac{1}{6}$.
Garis singgung adalah garis yang tegak lurus garis normal, sehingga gradien garis singgung adalah $m=-\frac{1}{m^{\prime }}=6$.
Misalkan titik singgung di $P(a,b)$.
Substitusi $x=a$ pada $f^{\prime }\left(x\right)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung (diketahui di sini bahwa $m=6$).
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =-2x^3+6x^2\\ f^{\prime }\left(x\right)& =-6x^2+12x\\ m=f^{\prime }\left(a\right)& =-6a^2+12a\\ 6& =-6a^2+12a\\ 6a^2-12a+6& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& 6\\ a^2-2a+1& =0\\ (a-1{)}^2& =0\end{array}$
Diperoleh $a=1$.
Substitusi $x=1$ pada $f\left(x\right)$.
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =-2x^3+6x^2\\ f\left(1\right)& =-2(1{)}^3+6(1{)}^2\\ b& =-2+6=4\end{array}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $(1,4)$
(Jawaban D)

Contoh Soal 6

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = x² di titik berabsis -2

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x = -2:

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2
y = x²
y = (-2)²
y = 4
Jadi titik singgung : (-2, 4)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x²
f '(x) = 2x
m = f '(-2) = 2(-2)
m = -4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 4 = -4(x − (-2))
y - 4 = -4x - 8
y = -4x - 4

Contoh Soal 7
Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x - x² sejajar dengan garis 4x + y = 3

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 + 2x - x²
m₁ = f'(x) = -2x + 2
m₁ = -2x + 2

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4x + y = 3
y = -4x + 3
m₂ = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m₁ = m₂
-2x + 2 = -4
-2x = -6
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x²
y = 3 + 2(3) - 3²
y = 3 + 6 - 9
y = 0

Sekarang kita telah memiliki titik singgung (3,0)

Langkah 4: Persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 0 = -4(x - 3)
y = -4x + 12

Contoh Soal 8
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x³ - 3x² - 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya f(x) = x³ - 3x² - 5x + 10
f'(x) = 3x² - 6x - 5
m = f'(x)
4 = 3x² - 6x - 5
3x² - 6x - 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = -2

Untuk x = 3
y = x³ - 3x² - 5x + 10
y = 3³ - 3(3)² - 5(3) + 10
y = 27 -27 - 15 + 10
y = -5
Titik singgung pertama (3,-5)

Untuk x = -2
y = x³ - 3x² - 5x + 10
y = (-2)³ - 3(-2)² - 5(-2) + 10
y = -8 - 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung kedua (-2,0)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17

Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8

Jadi ada dua persamaan garis singgung yaitu :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Contoh Soal 9

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 - x² yang tegak lurus terhadap garis 4y = x + 1 ?

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 - x²
m₁ = f'(x) = -2x
m₁ = -2x

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4y = x + 1
y = 

14

x + 

14

m₂ = 

14

(Ingat !! Jika y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m₁ . m₂ = -1
m₁ . 

14

 = -1
m₁ = -4

Masukkan nilai m₁ ke dalam persamaan langkah-1 :
m₁ = -2x
-4 = -2x
x = 2

Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 - x²
y = 3 - 2²
y = 3 - 4
y = -1
Jadi titik singgungnya : (2,-1)

Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung
y - y₁ = m(x - x₁)
y - (-1) = -4(x - 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7

Jadi persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7

Contoh Soal 10

Persamaan garis menyinggung kurva y = x² - 3x - 4 di titik (4,0) adalah .....
a. y = 5x + 20
b. y = 5x - 20
c. y = -5x + 20
d. y = -5x - 20

Pembahasan

y = x² - 3x - 4
y' = 2x - 3
m = y '(4) = 2(4) - 3 = 5
m = 5

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 0 = 5 (x - 4)
y = 5x - 20

Jawab c

    Sekian pembhasan materi kali ini. semoga bermanfaat.

Daftar Pustaka:

Wilson Simangunsong, 2016, PKS MATEMATIKA Wajib Kelas XI SMA/MA, Gematama

https://www.zenius.net/prologmateri/matematika/a/1360/garis-singgung

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-singgung-menggunakan-turunan/

https://bfl-definisi.blogspot.com/2018/10/soal-persamaan-garis-singgung-kurva.html