Tuesday, February 9, 2021

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN + CONTOH SOAL

  Hana Fahira (15) XI IPS 2


Fungsi naikfungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

  1. Jika f(x) bertanda positif, atau f(x)>0, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).
  2. Jika f(x) bertanda negatif, atau f(x)<0, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).
  3. Jika f(x) bertanda netral, atau f(x)=0, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi y=f(x) dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi y=f(x) dalam interval I dengan f(x) diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap x di dalam interval I.

  1. Jika f(x)>0, maka kurva f(x) akan selalu naik pada interval I.
  2. Jika f(x)<0, maka kurva f(x) akan selalu turun pada interval I.
  3. Jika f(x)=0, maka kurva f(x) stasioner (tetap/diam) pada interval I.
  4. Jika f(x)0, maka kurva f(x) tidak pernah turun pada interval I.
  5. Jika f(x)0, maka kurva f(x) tidak pernah naik pada interval I.

Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi f(x) berikut.

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik a dan b disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi f(x) naik saat x<a atau x>b, sedangkan f(x) turun pada saat a<x<b.

CONTOH SOAL

Soal Nomor 1
Interval x yang membuat kurva fungsi f(x)=x36x2+9x+2 selalu turun adalah 
A. 1<x<3
B. 0<x<3
C. 1<x<3
D. x<1 atau x>3
E. x<0 atau x>3

Pembahasan

Diketahui f(x)=x36x2+9x+2, sehingga turunan pertamanya adalah f(x)=3x212x+9.
Kurva f(x) selalu turun jika diberi syarat f(x)<0.
3x212x+9<0Kedua ruas dibagi dengan 3x24x+3<0(x3)(x1)<01<x<3
Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi f(x) selalu turun adalah 1<x<3
(Jawaban C)

Soal Nomor 2
Diberikan fungsi g(x)=2x39x2+12x. Interval x yang memenuhi kurva fungsi g(x) selalu naik adalah 
A. x<2 atau x>1
B. x<1 atau x>2
C. x<1 atau x>2
D. 1<x<2
E. 1<x<2

Pembahasan

Diketahui g(x)=2x39x2+12x, sehingga turunan pertamanya adalah g(x)=6x218x+12.
Kurva g(x) selalu naik jika diberi syarat g(x)>0.
6x218x+12>0Kedua ruas dibagi dengan 6x23x+2>0(x2)(x1)>0x<1 atau x>2
Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi g(x) selalu naik adalah x<1 atau x>2
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Grafik fungsi p(x)=x(6x)2 tidak pernah turun dalam interval 
A. x2 atau x6
B. x2 atau x6
C. x<2 atau x6
D. x2 atau x>6
E. x<2 atau x>6

Pembahasan

Diketahui p(x)=x(6x)2. Turunan pertama p(x) dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
p(x)=x(6x)2=x(3612x+x2)=36x12x2+x3p(x)=3624x+3x2
Grafik fungsi p(x) tidak pernah turun jika diberi syarat p(x)0.
3624x+3x20Kedua ruas dibagi dengan 3x28x+120(x2)(x6)0x2 atau x6
Jadi, interval x yang membuat grafik fungsi p(x) tidak pernah turun adalah x2 atau x6
(Jawaban B)

Soal Nomor 4
Grafik fungsi π(x)=x3+3x2+5 tidak pernah naik untuk nilai-nilai 
A. 2x0
B. 2x<0
C. 2<x0
D. x2 atau x0
E. 

Pembahasan

Diketahui π(x)=x3+3x2+5, sehingga turunan pertamanya adalah π(x)=3x2+6x.
Grafik fungsi π(x) tidak pernah naik jika diberi syarat π(x)0.
3x2+6x0Kedua ruas dibagi dengan 3x2+2x0x(x+2)02x0
Jadi, interval x yang membuat grafik fungsi π(x) tidak pernah turun adalah 2x0
(Jawaban A)

Soal Nomor 5
Diberikan fungsi R(x)=x33x2+3x2. Nilai-nilai x dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi R(x) 
A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik

Pembahasan

Diketahui R(x)=x33x2+3x2.
Turunan pertamanya adalah R(x)=3x26x+3. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat R(x)=0.
3x26x+3=0Kedua ruas dibagi dengan 3x22x+1=0(x1)2=0x=1
Perhatikan bahwa pada ekspresi (x1)2, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi R(x) tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.

Soal Nomor 6
Nilai-nilai x dari fungsi y=x2+3x1 yang mengakibatkan kurva fungsi itu selalu turun adalah 
A. x<1 atau x>3
B. 1<x<3
C. x<1 atau x>3
D. 1<x<1 atau 1<x<3
E. 1<x<1 atau x>3

Pembahasan

Diketahui y=x2+3x1. Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan u=x2+3u=2x dan v=x1v=1, sehingga
y=uvuvv2=2x(x1)(x2+3)(1)(x1)2=2x22xx23)(x1)2=x22x3(x1)2=(x3)(x+1)(x1)2
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat y<0, yaitu
(x3)(x+1)(x1)2<0.
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk x1, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
(x3)(x+1)<01<x<3
Karena x1 (berakibat penyebut bernilai 0), maka kita peroleh bahwa interval x yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara 1 dan 3, kecuali 1, kita tulis
1<x<1 atau 1<x<3
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Grafik fungsi f(x)=ax3+x2+5 akan selalu naik dalam interval 0<x<2. Nilai a adalah 
A. 3                     C. 13                 E. 3
B. 13                    D. 1

Pembahasan

Diketahui f(x)=ax3+x2+5 dan f(x) selalu naik di 0<x<2, mengimplikasikan bahwa
(x0)(x2)<0x(x2)<0x22x<0(1)
Turunan pertama f(x) adalah f(x)=3ax2+2x.
Grafik fungsi f(x) selalu naik jika diberi syarat f(x)>0.
3ax2+2x>0Kedua ruas dikali dengan 13ax22x<0(2)
Kaitkan pertidaksamaan (1) dan (2).
{x22x<03ax22x<0
Diperoleh 3a=1a=13
Jadi, Nilai a yang membuat f(x) selalu naik pada interval tersebut adalah 13 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Grafik fungsi T(x)=2x3+3ax24bx+5 akan selalu turun dalam interval 4<x<1. Nilai ba adalah 
A. 1                    C. 3                    E. 9
B. 2                    D. 

Pembahasan

Diketahui T(x)=2x3+3ax24bx+5 dan T(x) selalu turun di 4<x<1, mengimplikasikan bahwa
(x+4)(x1)<0x2x+4x4<0x2+3x4<0(1)
Turunan pertama T(x) adalah T(x)=6x2+6ax4b.
Grafik fungsi T(x) selalu turun jika diberi syarat T(x)<0.
6x2+6ax4b<0Kedua ruas dibagi dengan 6x2+ax23b<0(2)
Kaitkan pertidaksamaan (1) dan (2).
{x2+3x4<0x2+ax23b<0
Diperoleh:
a=3()23b=4b=6()
Jadi, nilai ba=63=2
(Jawaban B)

Soal Nomor 10
Grafik fungsi f(x)=x3+ax2+bx+c hanya turun pada interval 1<x<5. Nilai a+b=
A. 21                  C. 9                   E. 21
B. 15                  D. 9

Pembahasan

Diketahui f(x)=x3+ax2+bx+c dan f(x) selalu turun di 1<x<5, mengimplikasikan bahwa
(x+1)(x5)<0x25x+x5<0x24x5<0(1)
Turunan pertama f(x) adalah f(x)=3x2+2ax+b.
Grafik fungsi f(x) selalu turun jika diberi syarat f(x)<0.
3x2+2ax+b<0Kedua ruas dibagi dengan 3x2+23ax+13b<0(2)
Kaitkan pertidaksamaan (1) dan (2).
{x24x5<0x2+23ax+13b<0
Diperoleh:
23a=4a=613b=5b=15
Jadi, nilai a+b=6+(15)=21
(Jawaban A)

Daftar Pustaka:

https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/#:~:text=Jika%20f%E2%80%B2(x)%20bertanda,naik%20(disebut%20fungsi%20naik).&text=Jika%20f%E2%80%B2(x)%20bertanda%20netral%2C%20atau%20f%E2%80%B2,(disebut%20juga%20fungsi%20diam).

No comments:

Post a Comment