MATEMATIKA: SIFAT-SIFAT LIMIT & CONTOH SOALNYA + SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Hana Fahira (15) XI IPS 2

Pada post di blog ini sebelumnya, kita membahas mengenai apa itu LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR. Kali ini kita akan memperdalam materi limit dengan mempelajari sifat-sifatnya dan berlatih dengan contoh soalnya.

SIFAT-SIFAT LIMIT

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

lim_x_→_a c = c
lim_x_→_a xⁿ = aⁿ
lim_x_→_a c f(x) = c lim_x_→_a f(x)
lim_x_→_a ( f(x) + g(x)) = lim_x_→_a f(x) + lim_x_→_a g(x)
lim_x_→_a ( f(x) x g(x)) = lim_x_→_a f(x) x lim_x_→_a g(x)
lim_x_→_a f(x)/g(x) = (lim_x_→_a f(x))/(lim_x_→_a g(x))
lim_x_→_a f(x)ⁿ = (lim_x_→_a f(x))ⁿ
lim_x_→_a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim_x_→_a f(x)

CONTOH SOAL SIFAT-SIFAT LIMIT

1. Contoh sifat lim_x_→_a c = c

Tentukan nilai lim_x_→₂ 7 !!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

c = 7

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x_→_a c = c, maka :

lim_x_→₂ 7 = 7

Jadi nilai dari lim_x_→₂ 7 adalah 7

2. Contoh sifat lim_x_→_a xⁿ = aⁿ

Tentukan nilai lim_x_→₂ x³ !!!

Jawab :

Dik :

a = 2

n = 3

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x_→_a xⁿ = aⁿ, maka :

lim_x_→₂ x³ = 2³

lim_x_→₂ x³ = 8

Jadi nilai dari lim_x_→₂ x³ adalah 8

3. Contoh sifat lim_x_→_a c f(x) = c lim_x_→_a f(x)

Tentukan nilai lim_x_→₂ 4( x + 2 ) !!!

Jawab :

Dik :

a = 2

c = 4

f(x) = ( x + 2 )

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x_→_a c f(x) = c lim_x_→_a f(x), maka :

lim_x_→₂ 4( x + 2 ) = 4 (lim_x_→₂ ( 2 + 2 ))

lim_x_→₂ 4( x + 2 ) = 4 (lim_x_→₂ 4)

lim_x_→₂ 4( x + 2 ) = 16

Jadi nilai lim_x_→₂ 4( x + 2 ) adalah 16

4. Contoh sifat lim_x_→_a ( f(x) + g(x)) = lim_x_→_a f(x) + lim_x_→_a g(x)

Tentukan nilai lim_x_→₂ ( x³ + x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x_→_a ( f(x) + g(x)) = lim_x_→_a f(x) + lim_x_→_a g(x), maka :

lim_x_→₂ ( x³ + x⁴) = lim_x_→₂ x³ + lim_x_→_a x⁴

lim_x_→₂ ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴

lim_x_→₂ ( x³ + x⁴) = 8 + 16

lim_x_→₂ ( x³ + x⁴) = 24

Jadi nilai lim_x_→₂ ( x³ + x⁴) adalah 24

5. Contoh sifat lim_x_→_a ( f(x) x g(x)) = lim_x_→_a f(x) x lim_x_→_a g(x)

Tentukan nilai lim_x_→₂ ( x³ . x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x_→_a ( f(x) x g(x)) = lim_x_→_a f(x) x lim_x_→_a g(x), maka :

lim_x_→₂ ( x³ . x⁴) = lim_x_→₂ x³ . lim_x_→2 x⁴

lim_x_→₂ ( x³ . x⁴) = 2³ . 2⁴

lim_x_→₂ ( x³ . x⁴) = 8 . 16

lim_x_→₂ ( x³ . x⁴) = 128

Jadi nilai dari lim_x_→₂ ( x³ . x⁴) adalah 128

6. Contoh sifat lim_x_→_a f(x)/g(x) = (lim_x_→_a f(x))/(lim_x_→_a g(x))

Tentukan nilai lim_x_→₂ ( x⁴ / x³) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x⁴

g(x) = x³

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x_→_a ( f(x)/g(x)) = (lim_x_→_a f(x))/(lim_x_→_a g(x)), maka :

lim_x_→2 ( x⁴/x³) = (lim_x_→₂ x⁴)/(lim_x_→₂ x³)

lim_x_→2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³

lim_x_→2 ( x⁴/x³) = 16/8

lim_x_→2 ( x⁴/x³) = 2

Jadi nilai dari lim_x_→2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. Contoh sifat lim_x_→_a f(x)ⁿ = (lim_x_→_a f(x))ⁿ

Tentukan nilai lim_x_→₂ ( x⁴ + 1)² !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴ + 1

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x_→_a f(x)ⁿ = (lim_x_→_a f(x))ⁿ, Maka :

lim_x_→₂ ( x⁴ + 1)² = (lim_x_→2 x⁴ + 1)²

lim_x_→₂ ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²

lim_x_→₂ ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²

lim_x_→₂ ( x⁴ + 1)² = 17²

lim_x_→₂ ( x⁴ + 1)² = 289

Jadi nilai dari lim_x_→₂ ( x⁴ + 1)² adalah 289

8. Contoh sifat lim_x_→_a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim_x_→_a f(x)

Tentukan nilai lim_x_→₂²√x⁴ !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x_→_a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim_x_→_a f(x), maka :

lim_x_→₂²√x⁴ = ²√lim_x_→₂ x⁴

lim_x_→₂²√x⁴ = ²√2⁴

lim_x_→

₂²√x⁴ = ²√¹⁶

lim_x_→₂²√x⁴ = 4

Kesimpulan

Jika ingin lebih mahir dalam mengerjakan soal-soal matematika tentang limit maka kitaharus hafal di luar kepala 8 sifat limit yang sudah dijelaskan di atas.

SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Soal Cerita 1

Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada suatu saat, lebah tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan parabola. Setelah terbang selama 1 menit, lebah tersebut telah mencapai ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5 meter selama 1 menit. Pada menit berikutnya, lebah tersebut terbang menukik lurus ke tanah sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga.

Coba kamu modelkan fungsi lintasan lebah tersebut!

Cobalah kamu tunjukkan grafik lintasan terbang lebah tersebut.

Jadi, model fungsi lintasan lebah tersebut berdasarkan gambar di atas adalah:

dengan a, b, c, m, n bilangan real. Dari ilustrasi, diperoleh data sebagai berikut.

Misalkan posisi awal lebah pada saat hinggap di tanah adalah posisi pada waktu t = 0 dengan ketinggian 0, disebut titik awal O(0,0),

Kemudian lebah terbang mencapai ketinggian maksimum 5 meter pada waktu t = 1 sampai t = 2, di titik A(1,5) dan B(2,5).

Pada akhir waktu t = 2, lebah kembali terbang menukik sampai hinggap kembali di tanah dengan ketinggian 0, di titik C(3,0).

Berdasarkan data tersebut, kita akan menentukan fungsi lintasan lebah, dengan langkah-langkah berikut.

Substitusi titik O(0,0) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh c = 0.
Substitusi titik A(1,5) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh a + b + c = 5, karena c = 0, maka a + b = 5.
Karena fungsi kuadrat mencapai maksimum pada saat t = 1 maka

atau 1 b = –2a.

Dengan mensubstitusi b = –2a ke a + b = 5 maka diperoleh a = –5 dan b = 10.
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(t) = –5t 2 + 10t.
Lebah tersebut terbang konstan pada ketinggian 5 maka fungsi lintasan tersebut adalah f(t) = 5.
Substitusi titik B(2,5) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 5 = 2m + n.

8 Substitusi titik C(3,0) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 0 = 3m + n atau n = –3m.

Dengan mensubstitusi n = –3m ke 5 = 2m + n maka diperoleh m = – 5 dan n = 15.
Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = –5t + 15.

Dengan demikian, model fungsi lintasan lebah tersebut adalah:

Selanjutnya limit fungsi pada saat t = 1 dan t = 2 dapat dicermati pada tabel berikut.

Dari pengamatan pada tabel, dapat kita lihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 2. Perhatikan strategi lainnya. Mari perhatikan nilai fungsi pada t mendekati 1 dari kiri dan kanan, sebagai berikut:

Untuk t mendekati 1
lim->1- -5t^2+10t = 5(disubtitusikan)
lim->1+ 5 = 5 (karena sudah pasti)

Untuk t mendekati 2
lim->2- 5 = 5 (karena sudah pasti)
lim-2+ -5t+15 = 5 (disubtitusikan)
berarti dapat dinyatakan lim->2+ 5= lim->2- -5t^2+10t
sehingga fungsi lintasan tawon mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2

Soal Cerita 2

Tiga anak (sebut nama mereka: Ani, Budi dan Candra) sedang bermain tebak angka. Ani memberikan pertanyaan dan kedua temannya akan berlomba memberikan jawaban yang terbaik. Perhatikanlah percakapan mereka berikut.

Alternatif Penyelesaian

Kedua teman Ani berlomba memberikan jawaban bilangan terdekat ke 3, seperti pada Gambar 10.4. Pada awalnya Budi dan Candra mengambil bilangan yang terdekat ke 3 dari kiri dan kanan sehingga mereka menjawab 2 dan 4. Ternyata masih ada bilangan real lain yang terdekat ke 3, sehingga Budi harus memberi bilangan yang lebih dekat lagi ke 3 dari kiri, maka Budi menyebut 2,5.

Hal ini membuat Candra ikut bersaing untuk mencari bilangan lain, sehingga ia menjawab 3,5. Demikianlah mereka terus-menerus memberikan jawaban sebanyak mungkin sampai akhirnya mereka menyerah untuk mendapatkan bilangan-bilangan terdekat ke-3.

Berdasarkan pemahaman kasus ini, ternyata ketidakmampuan teman-teman Ani untuk menyebutkan semua bilangan tersebut telah membuktikan bahwa begitu banyak bilangan real di antara bilangan real lainnya. Jika dimisalkan x sebagai variabel yang dapat menggantikan jawaban-jawaban Budi dan Candra maka x akan disebut bilangan yang mendekati 3 (secara matematika, dituliskan x → 3).

Soal No. 1
Tentukan hasil dari:

Pembahasan
Limit bentuk

diperoleh

Soal No. 2

Pembahasan
Limit aljabar bentuk

Substitusikan saja nilai x,

Berikutnya dilanjutkan dengan tipe metode turunan yaitu limit x menuju angka tertentu dimana jika disubstitusikan langsung mendapatkan hasil yang tak tentu.

Soal No. 3

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Jika angka 2 kita substitusikan ke x, maka akan diperoleh hasil 0/0 (termasuk bentuk tak tentu), sehingga selesaikan dengan metode turunan saja.

Soal No. 4

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Masih menggunakan turunan

Soal No. 5

Nilai

A. −1/4
B. −1/2
C. 1
D. 2
E. 4
(Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)

Pembahasan
Bentuk 0/0 juga, ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini

Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya

Soal No. 6
Nilai dari

A. 16
B. 8
C. 4
D. -4
E. -8
(Matematika IPS 013)

Pembahasan
Bentuk 0/0 juga, dengan turunan:

atau dengan cara pemfaktoran:

Soal No. 7
Nilai

A. − 2/9
B. −1/8
C. −2/3
D. 1
E. 2
un matematika 2007

Pembahasan
Dengan substitusi langsung akan diperoleh bentuk 0/0.
Cara Pertama

Perkalian dengan sekawan dan pemfaktoran:

Cara Kedua

dengan turunan:

Catatan
Cara menurunkan

Ubah dulu bentuk akar jadi bentuk pangkat, kl akar pangkat dua itu sama saja dengan pangkat setengah, jadinya

Turunan dari 3 adalah nol, ga usah ditulis, lanjut turunan dari

dicari pakai turunan berantai namanya, prakteknya begini:
Pangkatnya taruh depan, terus pangkatnya dikurangi satu, terus dikali dengan turunan dari fungsi yang ada dalam kurung. x² – 7 kalo diturunkan jadinya 2x – 0 atau 2x saja. Jadinya:

Contoh berikutnya limit x menuju tak berhingga dalam bentuk f(x)/g(x). Kesimpulan berikut digunakan pada tiga nomor berikutnya:

Soal No. 8

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n

Soal No. 9

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n

Soal No. 10

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m < n

Contoh berikutnya tipe soal limit → ∞ yang berbentuk "Selisih Akar Kuadrat".

Ini rumus yang nanti digunakan:

Kita terapkan pada soal berikut

Soal No. 11

Nilai dari

adalah...

A. 3/4
B. 4/5
C. 6/5
D. 5/4
E. 4/3
(Ebtanas 1992)

Pembahasan
Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana
a = p
dengan b = 3 dan q = −5 sehingga tengok rumus di atas

Soal No. 12