MATEMATIKA: BARISAN & DERET ARITMATIKA BESERTA CONTOH SOAL

HANA FAHIRA (15) XI IPS 2

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

Keterangan:
b = beda;
U_n= suku ke-n;
U_n+1= suku sebelum suku ke-n; dan
n= banyaknya suku.

1. Bentuk barisan aritmetika

Adapun bentuk barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut.

Keterangan:

U_n+1= suku ke-(n +1);

U_n = suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh:

U₁, U₂, U₃, …, U_n-2, U_n-1, U_n

a, a+b, a+2b, …, a+n-3b, a+n-2b, a+n-1b

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmetika dapat dirumuskan

sebagai berikut.

Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:

b’= beda barisan aritmetika baru;

b= beda barisan aritmetika lama;

k= banyak bilangan yang disisipkan;

n‘= banyak suku barisan aritmetika baru; dan

n= banyak suku barisan aritmetika lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

2. Suku ke-n barisan aritmetika

Saat Quipperian diminta untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmetika, cara termudahnya adalah dengan menelusuri satu per satu sampai mencapai suku ke-n. Namun, cara ini tergolong tidak praktis dan membutuhkan banyak waktu. Jika yang diminta suku ke-10 mungkin masih bisa. Bagaimana jika yang diminta suku ke-1000? Kebayang kan betapa rumitnya? Untuk itu, rumus suku ke-n yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut.

Keterangan:

a = suku awal (U1);

U_n= suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

3. Suku tengah barisan aritmetika

Jika Quipperian menemukan barisan aritmetika yang banyak sukunya ganjil, pasti barisan aritmetika tersebut memiliki suku tengah (U_t). Secara matematis, U_t dirumuskan sebagai berikut.

4. Sisipan bilangan pada barisan aritmetika

Misalkan Quipperian menjumpai barisan aritemtika dengan beda b. Lalu, barisan aritmetika tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi k bilangan, terbentuk barisan aritmetika baru yang bedanya b’. Pertanyaannya adalah berapakah beda bilangan aritmetika yang baru? Daripada pusing-pusing, gunakan persamaan berikut.

Ketentuannya, suku pertama barisan yang baru sama dengan suku pertama barisan sebelumnya karena bilangan yang disisipkan tidak berada di awal baris.

Deret Aritmetika

Deret aritmetika berkaitan dengan barisan aritmetika. Deret aritmetika yang disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmetika disebut dengan deret aritmetika.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah sebagai berikut.

Substitusikan Un=a+(n-1) b, sehingga diperoleh:

Misalkan Sn-1= U₁+U₂+ U₃+ … +U_n-1 dan S_n=U₁+U₂+ U₃+…+U_n-1+U_n. Ini berarti, hubungan antara S_n-1 dan U_nadalah sebagai berikut.

Barisan Geometri

Apa sih barisan geometri itu? Lalu apa bedanya dengan barisan aritmetika? Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang hasil bagi antara dua suku berurutannya selalu sama atau tetap. Perbandingan (hasil bagi) antara dua suku berurutan pada barisan geometri disebut dengan rasio yang dilambangkan dengan r.

1. Bentuk barisan geometri

Rumus untuk menentukan rasio pada barisan geometri adalah sebagai berikut.

Keterangan:
r = rasio;
Un = suku ke-n;
Un-1= suku sebelum suku ke-n; dan
n = banyaknya suku.

2. Suku ke-n barisan geometri

Suku ke-n masih bisa kamu tentukan selama nilai n belum terlalu besar. Namun, jika nilai n cukup besar, cara seperti itu sulit untuk dilakukan. Untuk memudahkan kamu dalam menghitung suku ke-n barisan geometri, gunakan persamaan berikut.

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan geometri dapat dirumuskan sebagai berikut.

Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri baru, rasio dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:
r’= rasio barisan geometri baru;
r= rasio barisan geometri lama;
k= banyak suku yang disisipkan;
n’= banyak suku barisan geometri baru; dan
n= banyak suku barisan geometri lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

CONTOH SOAL

CONTOH SOAL 1
Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 6, 10, 14, …, …,!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 2

b = 6 – 2 = 4

Ditanya: U₂₀ =…?

Pembahasan:

CONTOH SOAL 2

Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 7
b = –2
ditanya $U_{40}$

Jawab:
$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{40}=7+(40-1)(-2)$
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

CONTOH SOAL 3

Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 5

b = –7

Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

$U_{n}=a+(n-1)b$
$=5+(n-1).(-7)$
$=5-7n+7$
$=12-7n$

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah $U_{n}=12-7n$

CONTOH SOAL 4
Suku tengah barisan aritmetika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan suku ke-4 bernilai -3, tentukan suku terakhirnya!

Pembahasan:

Diketahui:

U_t = 15

n = 11

Ditanya: U_n =…?

Pembahasan:

Pertama, Quipperian harus mencari nilai t.

Suku tengah adalah suku ke-6. Artinya, U₆ = 15.

Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi.

Substitusikan nilai b ke persamaan (1).

Selanjutnya, tentukan suku terakhir barisan tersebut.

CONTOH SOAL 5

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 12

b = 2

Ditanyakan $U_{20}=?$

Jawab:

$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{20}=12+(20-1)2$
$=12+(19).2$
$=12+(38)$
$=50$

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.

CONTOH SOAL 6
Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + $U_{n}$ adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

b = 2

Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$=\frac{n}{2}(2.2+(n-1)2)$
$=\frac{n}{2}(4+2n-2)$
$=\frac{n}{2}(2+2n)$
$=\frac{n}{2}.2(1+n)$
$=n(1+n)$
$=n+n^{2}$

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah $S_{n}=n+n^{2}$

CONTOH SOAL 7

Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui $U_{3}=24$
$U_{6}=36$

Ditanya: $S_{15}=?$

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $S_{15}$ , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan subtitusi dari persamaan $U_{3}$ dan $U_{6}$ .

Sebelumnya mari ingat lagi bahwa $U_{n}=a+(n-1)b$ sehingga $U_{3}$ dan $U_{6}$ dapat ditulis menjadi $U_{3}=24$

$a+(3-1)b=24$
$a+2b=24$ . . .(i)
$U_{6}=36$
$a+(6-1)b=36$
$a+5b=36$ . . .(ii)

Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii.

a + 2b = 24
a + 5b = 36 –
-3b = -12
$b=\frac{-12}{-3}$
b = 4

Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i).

a + 2b = 24

a + 2 . 4 = 24

a + 8 = 24

a= 24 – 8

a = 16

Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari $S_{15}$
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$S_{15}=\frac{15}{2}(2.16+(15-1)4)$
$=\frac{15}{2}(32+14.4)$
$=\frac{15}{2}(32+56)$
$=\frac{15}{2}.88$
$=660$

Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.

CONTOH SOAL 8
Diketahui suku ke-2 dan ke-4 barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 27. Jika nilai r > 0, tentukan nilai dari suku ke-3!

Pembahasan:

Diketahui:

U₂ = 12

U₄ = 27

r > 0

Ditanya: U₃ =…?

Pembahasan:

Nyatakan suku ke-2 dan ke-4 dalam notasi matematis.

Lakukan pembagian antara kedua suku seperti berikut.

Setelah rasio diketahui, tentukan suku ke-3nya.

Jadi, nilai dari suku ke-3 adalah 18.

CONTOH SOAL 9
Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …

Penyelesaian:

Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116

a = 20
Un = 116
n = 2
k = 11 bilangan
banyaknya suku baru : n’ = n + (n-1) k
= 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13

Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884

CONTOH SOAL

Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, …
Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Jawab:

n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500

CONTOH SOAL 11
Jumlah suku yang pertama dari barisan 20 + 15 + 10 +…… adalah …..

a). -550

b). -250

c). -75

d). -115

c). -250

Penyelesaian :

a = 20
b = U2-U1
   = 15-20
   =   -5
Sn = n (a + Un)
Un = a + (n – 1) b
U20 = 20 + (20-1)(-5)
        = 20 + (19) (-5)
        = 20 – 95
        = – 75
S20 = . 20 (20 + (-75))
       = 10 (-55)
S20 = – 550

Jawaban : A

CONTOH SOAL 12

Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah …..

a). 105

b). 120

c). 150

d). 155

e). 165

Penyelesaian :

a = 3
b = U3 – U2 – 1
   = U3 – U2
   = 7 – 5
= 2
Sn = n (2a + (n-1)b)
     = 10 (2 (5) + (10-1)2)
     = 5 (6+9) 2
     = 120

Jawaban : B

CONTOH SOAL 13
Jika jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 6 dan rasionya – , maka suku pertamanya adalah …..

a). 2

b). 3

c). 8

d). 10

e). 12

Penyelesaian :

S =
6 =
6 =
6 =
6 =
6 =
6 x a => 6 x 5 = = 10

Jawaban : D

CONTOH SOAL 14
Jumlah tak hingga deret geometri adalah 6 + 2 + + adalah …..

a). 7

b). 6

c). 9

d). 10

e). 18

S =
a = 6
r = = =
S2 = = = 6
S2 = 6 x = = 9

Jawaban : C

CONTOH SOAL 15
Diketahui barisan aritma tikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu adalah …..

a). 345

b). 44

c). 49

d). -40

e). -44

Penyelesaian :

Un = a + (n-1)b
= a + (4-1)b = 11
= a + 36 = 11
U8 = a + (8-1)b = 23
= a + 7b = 23

Eliminasi a + 3b = 11

a + 7b = 23

-4b = -12

b = = 3

Substansi a + 3b = 11

a + 3 (3) = 11

a + 9 = 11

a = 11 – 9 = 2

U15
Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1) 3
= 2 + (14 x 3) = 44

Jawaban : B

CONTOH SOAL 16
Dari suatu barisan aritmatika diketahui U2 = 7 dan U6 = 19. Suku ke 8 dari barisan aritmatika tersebut adalah …..

a). 25

b). 26

c). 28

d). 31

e). 34

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b
U2 = a + (2-1) b = 7
= a + 1b = 7
U6 = a + (6-1)b = 19
= a + 5b = 19

Eliminasi :

a + 1 b = 7
a + 5b = 19
-4b = -12
b = – = 3

Subtitusi :

b = 3
a + 1 b = 7
a + 1 (3) = 7
a + 3 = 7
a = 7 -3 = 4
U8
Un = a + (n-1) b
U8 = 4 + (8-1) 3
= 4 + (7 . 3)
= 25

Jawaban : A

CONTOH SOAL 17
Dari suatu barisan aritmatika diketahui U10 = 41 dan U5 = 21. U20 barisan tersebut adalah …..

a). 69

b). 73

c). 77

d). 81

e). 83

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b
U10 = a + (10-1)b = 41
U5 = a + (5-1)b = 21
a + 4b = 21

eliminasi :

a + 9b = 41
a + 4b = 21
5b = 20
b = = 4

subtitusi :

b = 4
a + 9b = 41
5 +a + (9.4) = 41
a + 36 = 41
a = 41- 36
= 5
U20
Un = a + (n-1)b
U20 = a + (n-1) b
U20 = 5 + (20+1) 4
        = 5 + (19.4)
        = 5 + 76
         = 81

Jawabannya : d).

CONTOH SOAL 18
Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikan sebesar Rp 5.000,00jika gaji pertama gajian tersebut Rp. 100.000 …..

a). Rp. 1.205.000

b). Rp. 1.255.000

c). Rp. 260.000.000

d). Rp. 1.530.000

Penyelesaian :

Sn = n (2a + (n-1) b
12 (2 . 100.000) +(12-1)5000
= 6 (200.000+55.000)
= 6 (225.000) = 1.530.000

Jawabannya : d). 1.530.000

CONTOH SOAL 19
Sebuah perusahaan mempunyai peluang untuk menjual hasil pproduksinya0,65 jika di produksi 2.500.000unit brang, maka diperkiraan banyak hasil produksi yang tidak terjual adalah …..

a). 625.000 unit

b). 875.000 unit

c). 1.125.000 unit

d). 1.375.000 unit

e). 1.625.000 unit

Penyelesaian :

. 2.500.000= 1.625.000
2.500.000 – 1.625.000 = 875.000 unit
Hasil produk yang terbaik terjual adalah

Jawaban : B

CONTOH SOAL 20
Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5000 unit barang, pada tahun-tahun berikutnyaproduksinya turun secara tetap80 unit per tahun. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit barang?

a). 24

b). 25

c). 26

d). 27

e). 28

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b
3000 = 5000 + (n-1) (-80)
3000 = 5000 + (80n) + (80)
80n = 5000 – 3000 + 80
80n = 2000 + 80
80n = 2080
n = 2080 : 80 = 26

Jawaban : C

Daftar Pustaka:

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-matematika-kelas-11/

https://www.zenius.net/blog/23365/materi-soal-barisan-deret-aritmatika

https://www.gurupendidikan.co.id/deret-aritmatika/

MATEMATIKA

Monday, November 2, 2020

BARISAN & DERET ARITMATIKA BESERTA CONTOH SOAL

1. Bentuk barisan aritmetika

2. Suku ke-n barisan aritmetika

3. Suku tengah barisan aritmetika

4. Sisipan bilangan pada barisan aritmetika

Deret Aritmetika

Barisan Geometri

1. Bentuk barisan geometri

2. Suku ke-n barisan geometri

CONTOH SOAL 3

CONTOH SOAL 5

CONTOH SOAL 7

CONTOH SOAL

No comments:

Post a Comment

Report Abuse