MATEMATIKA: PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH & CONTOH SOAL

Hana Fahira (15) XI IPS 2

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh pertumbuhan yaitu perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear:

$P_n = P_0 (1 + n_b)$

Rumus pertumbuhan eksponensial:

$P_n = P_0 (1 + b)^n$

Dimana:
$P_n =$ nilai besaran setelah $n$ periode
$P_0 =$ nilai besaran di awal periode
$b =$ tingkat pertumbuhan
$n =$ banyaknya periode pertumbuhan

Contoh:

Banyaknya bakteri pada satu telapak tangan yang kotor meningkat 2% secara eksponensial setiap satu jam sekali. Saat ini, terdapat bakteri sebanyak 150.000 pada sebuah telapak tangan. Hitunglah banyaknya bakteri setelah satu jam kemudian!

Jawab:

$P_0 = 150.000$
$b = 2% = 0.02$
$n = 1$ jam

Banyaknya bakteri setelah satu jam:

$P_n = P_0 (1 + b)^n$
$P_1 = 150.000 (1 + 0.02)^1$
$P_1 = 150.000 (1.02)^1$
$P_1 = 153.000$ bakteri

Bunga

Bunga adalah selisih antara jumlah nominal uang yang dipinjamkan oleh pemilik modal dengan jumlah yang dikembalikan oleh pemakai modal berdasarkan kesepakatan bersama. Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase). Terdapat dua jenis bunga, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

Jenis – Jenis Bunga

Berikut ini adalah jenis – jenis bunga berdasarkan besarnya bunga yang dibayarkan pada setiap periode:

1. Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang dibayar pada setiap periode dengan besaran tetap. Besarnya bunga tunggal dihitung berdasarkan perhitungan modal awal.

Rumus bunga tunggal pada akhir periode:

$B = M_0 \times t \times r$

Rumus besarnya modal pada akhir periode:

$M_t = M_0 (1 + t \times r)$

Dimana:
$B =$ bunga
$M_0 =$ modal awal
$M_t =$ modal pada akhir periode – $t$
$t =$ periode
$r =$ tingkat suku bunga (persentase)

Contoh:

Koperasi Simpan Pinjam memberikan pinjaman kepada anggotanya dengan bunga 2% per bulan. Jika Adi meminjam uang sebesar Rp. 500.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 2 bulan, tentukan besar bunga setiap bulannya dan besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang telah ditentukan!

Jawab:
$M_0 = Rp. 500.000,00$
$r = 2%$
$t = 2$ bulan

Maka, besar bunga setiap bulannya adalah:

$B = M_0 \times t \times r$
$B = Rp. 500.000,00 \times 1 \times 2%$
$B = Rp. 10.000,00$

Besar uang yang harus dikembalikan setelah 2 bulan:

$M_t = M_0 (1 + t \times r)$
$M_2 = Rp. 500.000,00 (1 + 2 \times 2%)$
$M_2 = Rp. 500.000,00 (1.04)$
$M_2 = Rp. 520.000,00$

2. Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bung ayang dapat berbunga. Perhitungan dalam bunga majemuk menggunakan perhitungan deret geometri.

Misalkan modal sebesar $M_0$ dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga $i$ (dalam persentase) per periode waktu. Besar modal pada periode ke- $t$ ( $M_t$ ) dapat dihitung dengan cara berikut ini:

$M_1 = M_0 + M_0 \times i = M_0 (1 + i)$
$M_2 = M_1 (1 + i) = [M_0 (1 + i)] (1 + i) = M_0 (1 + i)^2$
$M_3 = M_2 (1 + i) = [M_0 (1 + i)^2] (1 + i) = M_0 (1 + i)^3$
$.$
$.$
$.$
$M_t = M_t-1 (1 + i) = [M_0 (1 + i)^t+1] (1 + i) = M_0 (1 + i)^t$

Jadi, rumus untuk besar modal pada periode ke- $t$ dengan bunga majemuk ialah:

$M_t = M_0 (1 + i)^t$

Dimana:
$M_t =$ besar modal pada periode ke- $t$
$M_0 =$ modal awal
$i =$ tingkat suku bunga
$t =$ periode

Contoh:

Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp. 5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?

Jawab:

$M_0 = Rp. 5.000.000,00$
$i = 3% = 0.03$
$t = 12$ bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah:

$M_t = M_0 (1 + i)^t$
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1 + 0.03)^{12}$
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1.42576)$
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1 + 0.03)^{12}$
$M_{12} = Rp. 7.128.800,00$

Anuitas

Anuitas adalah sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah dan jangka waktu yang tetap (tertentu). Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka terdapat tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan, yaitu:

Besar pinjaman
Besar bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga:

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar $M_0$ mendapat bunga sebesar $b$ per bulan dan anuitas sebesar $A$ , maka dapat ditentukan:

Besar bunga pada akhir periode ke- $n$ :

$B_n = (1 + b)^{n-1} (b \times M - A) + A$

Besar angsuran pada akhir periode ke- $n$ :

$A_n = (1 + b)^{n-1} (A - bM)$

Sisa hutang pada akhir periode ke- $n$ :

$M_n = (1 + b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

Peluruhan

Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh dari peluruhan yaitu peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear:

$P_n = P_0 (1 - n_b)$

Rumus peluruhan eksponensial:

$P_n = P_0 (1 - b)^n$

Dimana:
$P_n =$ nilai besaran setelah $n$ periode
$P_0 =$ nilai besaran di awal periode
$b =$ tingkat peluruhan
$n =$ banyaknya periode peluruhan

Contoh:

Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut sebanyak 5% dari ukuran sebelumnya setiap 6 jam secara eksponensial. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

$P_0 = 100 gram$
$b = 5% = 0.05$
$n = \frac{24}{6} = 4$

Ukuran bahan radioaktif setelah 1 hari:

$P_n = P_0 (1 - b)^n$
$P_4 = 100 (1 - 0.05)^4$
$P_4 = 100 (0.95)^4$
$P_4 = 100 (0.8145)$
$P_4 = 81.45$ gram

Contoh Soal

Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menunjukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri dalam    waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. tentukan banyak bakteri dalam 10 jam

a. 1.024.000
b. 1.034.000
c. 1.044.000
d. 1.054.000

pembahasan :
Mn    = Mo x r^n
M10   = Mo x r^10
= 1000 x 2^10
= 1.024.000
Jawaban A
Pada pemeriksaan kedua dokter mendiagnosa bahwa masih ada 800.000 bakteri yang menginfeksi telinga seorang bayi. Untuk mempercepat proses penyembuhan, dokter meningkatkan dosis penisilin yang dapat membunuh 10% bakteri setiap 6 jam.tentukan banyak bakteri setelah 24 jam
a.527.880
b.526.860
c.525.860
d.524.880

pembahasan :

Mn     = Mo (1-i)^n
M4     = Mo (1-i)^4
  = 800.000 (1-0,1)^4
= 800.000 (0,9)^4
  = 800.000 (0,6561)
  = 524.880

Jawaban D
Modal sebesar Rp12.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 10% setahun. Setelah 3 tahun besarnya modal akhir adalah …

a. Rp13.200.000,00 d. Rp36.000.000,00

b. Rp15.600.000,00 e. Rp39.600.000,00

c. Rp18.400.000,00

Jawab

M = Rp12.000.000,00
b = 10% per tahun
n = 3 tahun
Besar modal akhir selama 3 tahun adalah

Mn = M(1 + nb)

Mn = Rp12.000.000,00 (1 + 3(10%))

Mn = Rp12.000.000,00 (1 + 3())

Mn = Rp12.000.000,00 (1 + 3(0,1))

Mn = Rp12.000.000,00 (1 + 0,3)

Mn = Rp12.000.000,00 (1,3)

Mn = Rp15.600.000,00

Jawaban B
Andi menyimpan uang di Bank sebesar Rp5.000.000,00 dengan bunga tunggal 12% setahun. Setelah 15 bulan uang Andi menjadi …

a. Rp5.062.000,00 d. Rp6.250.000,00

b. Rp5.600.000,00 e. Rp7.000.000,00

c. Rp5.750.000,00

Jawab

M = Rp5.000.000,00
b = 12% per tahun
n = 15 bulan = tahun
Uang Andi setelah 15 bulan adalah

Mn = M(1 + nb)

Mn = Rp5.000.000,00 (1 + (12%))

Mn = Rp5.000.000,00 (1 + )

Mn = Rp5.000.000,00 (1 + )

Mn = Rp5.000.000,00 (1 + 0,15)

Mn = Rp5.000.000,00 (1,15)

Mn = Rp5.750.000,00

Jawaban C
Pak Budi menabung uangnya di Bank sebesar Rp 10.000.000 , jika Bank memberikan bunga tunggal 18%/tahun , berapa bunga yg diterima pak Budi jika pak Budi menabung selama 8 bulan?

penyelesaian :

Bunga = persentase bunga x lama menabung x modal awal
= 18% x 8/12 x 10.000.000
= 1.200.000

jadi bunga yg diterima pak Budi Rp 1.200.000
Pada awal bulan, Firdaus menabung di Bank sebesar Rp500.000,00. Jika Bank memperhitungkan suku bunga majemuk sebesar 2,5% setiap bulan, maka jumlah tabungan Firdaus setelah satu tahun adalah ….

(hasil (1 + b)ⁿ dibulatkan 4 angka dibelakang koma)

a. Rp575.250,00 d. Rp656.050,00

b. Rp624.350,00 e. Rp672.450,00

c. Rp640.050,00

Jawab

M = Rp500.000,00
b = 2,5% per bulan
n = 1 tahun = 12 bulan
Jumlah tabungan Firdaus setelah satu tahun adalah

Mn = M(1 + b)ⁿ

Mn = Rp500.000,00 (1 + 2,5%)¹²

Mn = Rp500.000,00 (1 + )¹²

Mn = Rp500.000,00 (1 + 0,025)¹²

Mn = Rp500.000,00 (1,025)¹²

Mn = Rp500.000,00 (1,3449)

Mn = Rp672.450,00

Jawaban E
Modal sebesar Rp25.000.000,00 dipinjamkan selama 5 tahun dengan perjanjian bunga majemuk 4% setahun. Besar modal beserta bunganya yang diterima pada akhir periode adalah …

(hasil (1 + b)ⁿ dibulatkan 4 angka dibelakang koma)

a. Rp28.122.500,00 d. Rp31.500.000,00

b. Rp29.247.500,00 e. Rp31.632.500,00

c. Rp30.417.500,00

Jawab

M = Rp25.000.000,00
n = 5 tahun
b = 4% per tahun
Besar modal yang diterima pada akhir periode

Mn = M(1 + b)ⁿ

Mn = Rp25.000.000,00(1 + 4%)⁵

Mn = Rp25.000.000,00(1 + )⁵

Mn = Rp25.000.000,00(1 + 0,04)⁵

Mn = Rp25.000.000,00(1,04)⁵

Mn = Rp25.000.000,00(1,2167)

Mn = Rp30.417.500,00

Jawaban C
Modal sebesar Rp 1.000.000,- dibungakan selama 3 tahun dengan bunga majemuk 4% pertahun.Berapakah besar modal akhir setelah 3 tahun?
a. 1.123.864
b. 1 .123. 863
C. 1.124.864
d. 1.124. 863

Pembahasan :
Mo = Rp 1.000.000
r = 4% = 0,04
n = 3
Mn = Mo (1 + r)^n
Mn = 1.000.000 (1 + 0,04)^3
Mn = 1.000.000 (1,124864)
Mn = Rp 1.124.864

Jawaban C
Sebuah pinjaman akan segera di lunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besar dari angsuran Rp. 85.000, dan bunganya sebesar Rp. 315.000,00. Maka tentukanlah berapa jumlah dari anuitas tersebut ?
a. Rp 300.000
b. Rp 350.000
c. Rp 400.000
d. Rp 450.000

Jawaban nya :

Di ketahui :

An = Rp 85.000
Bn = Rp 315.000

Di tanya = AN .….. ?
Di jawab :

AN = An + Bn
AN = Rp 85.000 + Rp 315.000
AN = Rp 400.000

Jadi, jumlah dari nilai anuitas dari soal di atas ialah = Rp 400.000.

Jawaban C
sebuah pinjaman akan segera di lunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besar anuitas nya Rp 600.000,00. Maka tentukanlah berapa angsuran ke-5 jika bunga ke-5 nya ialah sebesar Rp 415.000,00 ?
a. Rp 175.000
b. Rp 180.000
c. Rp 185.000
d. Rp 190.000

Jawaban nya :

Di ketahui :

AN = Rp 600.000
Bn = Rp 415.000

Ditanya : An ..….. ?

Di jawab :

AN = An + Bn
Rp 600.000 = An + Rp 415.000
An = Rp 600.000 – Rp 415.000
An = Rp 185.000

Jadi, jumlah nilai dari angsurannya ialah sebesar = Rp 185.000.

Jawaban C

Sekian materi mengenai pertumbuhan, bunga, anuitas, dan peluruh. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Daftar Pustaka:
https://www.edura.id/blog/matematika/pengertian-bunga/#Pertumbuhan
https://aderfda.blogspot.com/2020/09/soal-pilihan-ganda-dan-penyelesaiannya.html

MATEMATIKA

Monday, November 9, 2020

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH & CONTOH SOAL

Pertumbuhan

Bunga

Jenis – Jenis Bunga

1. Bunga Tunggal

2. Bunga Majemuk

Anuitas

Peluruhan

No comments:

Post a Comment

Report Abuse